同学们好，下面由我来讲解平底纲目第十题。
三角形 abc 中角 d、a、c 等于九十度，b、m 等于 m、n 等于 n、c，a、m 等于 4，a、n 等于 3，求 m、n 的长。
由 b、m 等于 m、n，想到延长 a、m 到 v 连接 v、n，这样可以利用八字形全等证明黄色的两个三角形全等。
同理，利用八字形全等证明三角形 m、u、n 和三角形 c、a、n 全等，两三角形全等，内错角全等，得到 v、n 平行于 a、b，同样 m、u 也平行于 a、c，因为 a、b、a、c 互相垂直，由此得到 v、n 和 m、u 也互相垂直。
如果连接 vu，想到一个非常重要的性质，就是对角线互相垂直的四边形，对边的平方和相等，得到一个式子，就是 m、n 的平方加上 v、u 的平方就等于 v、m 的平方加上 v、n 的平方、u、n 的平方。
代入数字，3 的平方加 4 的平方等于 2，a 块的平方加上 a 的平方即是 5，尾的平方等于 25，a 的平方等于 5，由此得到 m、n 等于根号。
第二种方法，如果过 m 点做 m、p 垂直 a、b、n、q 垂直 a、c，则会证明出蓝色的两个三角形全等。
在利用勾股定理得到两个关键是 b 的平方加上 2c 括的平方等于 4 的平方，而 2b 的平方加上 7 的平方等于 3 的平方。
由一式加上二式可以得到 5b 的平方加上 5c 的平方等于 25，整理 b 的平方加上 c 的平方就等于 5，而 b 的平方加上 c 的平方等于 a 的平方，接着 a 等于根号 5，由此求得 m 等于根号 5。
一道竞赛题用了两种方法去解决。
1. 第一种方法，通过被长中线想到了对角线互相垂直的四边形有一个重要性质，就是对边的平方和相等。
2. 第二种方法，利用做垂线勾照了两对同色三角形圈等得到两个关键式，利用叠加法求的 a 的平方等于 b 的平方加上 c 的平方。
本题讲解到这。