《机器学习的数学》第四章矩阵分解：4.2特征值和特征向量。
隔壁老王。
上次视频介绍了如何去获取一个n行n列矩阵的特征值、特征向量还有特征空间，这些都是纯代数的概念。
这节从几何的角度去直观的解释一下特征向量和特征值。
在本小节的第一个视频中曾经讲到一个矩阵特征值的代数多重性，接下来看一下什么叫做几何多重性。
令lambdai是正方形矩阵a的一个特征值，lambdai的几何多重性是指和lambdai相关的线性独立的特征向量的个数。
换句话说，它是由lambdai所相关的特征向量所生成的特征空间的维度。
一个特征值的几何多重性至少有一个相关的特征向量，一个特征值的几何多重性不会超过它的代数多重性，但是可能比代数多重性更低。
什么意思？来看一个例子，假设矩阵a现在是两行两列的矩阵，根据上一节所讲的可以得到它的两个特征值：lambda1、lambda2都是2，这是一个代数多重性的体现，这样它的代数多重性就是2。
而这两个特征值所对应的特征向量是只有一个，所以它的几何多重性是一，因此这就出现了刚才所说的情况，矩阵的几何多重性要比代数多重性更低。
接下来从几何上直观的感觉一下行列式和不同线性映射之间的特征值、特征向量之间的关系。
·先来看第一个例子，给定的矩阵a是一个两行两列的矩阵，它的两个特征向量的方向对应着二维数空间的坐标，而垂直轴被因子的2也就是特征值lambda1=2所扩展，水平轴被缩放因子1/2也就是LAMDA2等于1/2所压缩。
而这个映射保留了数据，区域面积是不变的，它的面积就是矩阵A1的行列式是1.0。
·接下来来看第二个变换，矩阵2，同样是一个两行两列的矩阵，但是和之前的矩阵元素是不一样的，而这个变化对应的是剪切映射或者叫错切映射。
接下来就把它叫做剪切映射，因为个人比较习惯把它叫做剪切，它为什么起这么奇怪一个名字？什么是剪切？就是如果它的点在垂直轴的正半轴，这个变换就把它的坐标点沿着水平向右剪切。
反之，如果点在垂直轴的负半轴，就把坐标点沿着水平向左剪切。
在这个变换中特征值lambda-，lambda2都是一，所以它是一个重复的根，并且特征值是共线的。
而这里的共线正好是两个相反的方向，就是图中的红色箭头和蓝色箭头，这分别代表两个不同的特征向量。
·接下来来看第三个变换矩阵A3，把原来的图像逆时针旋转了6分之pi弧度也就是30度，它的特征值和之前所讲的矩阵都不一样，它的特征值是一个复数，这里的复是指的含有虚数的复数，而不是正数负数的负数。
而这个矩阵所对应的映射是旋转映射，因此它是没有特征向量的，而这个旋转映射也保留了之前的区域的面积是不变的。
·接下来来看第四个映射，第四个映射变换矩阵A4，它是将二维的图像降解到了一维，因此它的特征值是0。
蓝色的特征向量对应着lambda1=0所指的方向，蓝色的在图中，因为它的特征值是0，所以只用一个小小的箭头来表示，就是蓝色的箭头指向左下角，而和蓝色特征向量所垂直的红色特征向量所对应着特征值是lambda2=2，因此它将原来的空间拉长了两倍，这样图像的区域面积就是0，而0在数值上正好是矩阵的行列式。
·接下来来看最后一个变换矩阵A5，它是一个剪切拉长映射，相当于它把剪切和拉长两个功能，复合到一块了。
这个映射沿着红色的特征向量把原来的空间拉长了1.5倍，而沿着和它垂直的蓝色向量把原来的空间压缩了0.5倍，这样它的面积就是原来的0.75倍，正好是矩阵a的特征值(口误：行列式)。
到此大家有没有发现一个问题，矩阵a的行列式正好是两个特征值的乘积，大家如果不相信可以返回去看一下这5个图像上的实例。
事实上这个定理是成立的，会在下个视频专门讲解。
本次视频到此就结束了，下次再见。