数学文化科普展 第五期地图投影的分类博学而详说之将以反说约也 在上一期中，我们给出了地图投影的定义，本期中我们将给出一些例子，让大家看到这些抽象的定义是如何应用于地图制作中的。
我们有不同的方式来分类不同的地图投影，其中的一种分类方式就是按制作方法分类，不同类型的投影方式将给出不同分类的地图投影，也能由此做出不同种类的地图。
圆柱投影Cylindrical Projections圆柱投影是将一个圆柱面包围球面，并使之相切或相割，再根据某种条件将球面上的经纬网点投影到圆柱面上，然后，沿圆柱面的一条母线切开，将其展成平面。
举个例子圆柱中心投影Cylindrical Central Projection把一张纸（平面）以如图所示的方式包住地球仪，形成一个圆柱体。
地球仪的赤道和纸面相切。
假设地球仪表面透明，且它的球心有光源，那么地球仪表面的大陆轮廓就被投影到了纸面上。
用笔在纸面上记录下轮廓后，将纸面展开，就得到了圆柱投影的世界地图。
这是最简单的一种圆柱投影。
图1:最简单的圆柱投影制作的世界地图上面的文字说明足以让我们了解到地图的做法，但是从数学的角度考虑，我们最好弄清楚如何用数学语言描述上述过程，写出具体的表达式，这样有助于我们进一步探究制作出的地图所具有的性质。
利用解析几何的基本知识，我们可以得到：由此可解得：其中(u,v)是平面直角坐标系，即地图上点的坐标；(λ,φ)是球面上的经纬度，λ代表经度，φ代表纬度，R代表地球的半径。
要使得上面定义良好，我们需要写出经纬度的范围，即λ∈(−π,π)以及φ∈(-π/2，π/2)从上面经纬度的范围，可以看出上面一张地图并没有覆盖整个球面，因为南北极点以及连接它们的经度为π的那条经线都不在地图中。
不过根据上期给出的地图定义，它确实能给出球面上的一张地图。
要想得到球面上的图册，还需要添加南极点和北极点附近的地图才行。
但在实际应用中，只要构造出一张地图，就够我们用的了，不必强求完整性。
因此我们之后的讨论，也只是针对一张地图进行的。
为了方便我们之后讨论地图投影制作出的地图的性质，我们常把上述映射写成从R到R的映射。
即，将球面放入我们熟悉的R中，此时不妨设球面方程为x+y+z=R，用x, y, z 表示出λ,φ,利用球坐标变换，有如下结果：代入之前计算出的映射表达式可得：上面的表达式略显复杂，但是一旦将映射写成如上的形式，我们就可以更好的利用微分几何的知识探究它所具有的性质，并且有一套系统的探究方式，这将在下一期中提到。
墨卡托投影Mercator Projection墨卡托投影由荷兰地图学家墨卡托(G.Mercator)于1569年创拟。
为地图投影方法中影响最大的，是绘制世界地图时最常用的投影之一。
它的实现是在上述圆柱中心投影的基础上，将v的表达式略微变化得到，具体如下：图2:用墨卡托投影制作的地图其中经纬度的范围λ∈(−π,π)以及φ∈(-π/2，π/2) ,仿照之前的过程，我们将上述映射改写成从 R到R的形式，即如下结果：其中的ϕ和λ满足：利用上面的表达式，我们可以进一步计算，得出墨卡托投影的一个重要性质：保角性。
这一点将在下一期中具体解释。
方位角投影Azimuthal Projection方位角投影是另一种投影方式，它使一个平面与球面相切或相割，以这个平面做投影面，将球面上的经纬线投影到平面上，形成投影网。
即以平面为投影面的一类投影。
最知名的方位角投影制作成的地图，应该是联合国旗帜上的，它是由球极投影的方式制作成的。
球极投影早在两千年前就被人们所知，其不仅在地图制作上发挥作用，在数学的理论研究中也极为有用。
图3:球极投影的示例球极投影Stereographic Projection球极投影的原理是：假设球体（不妨设半径是1）是透明的，而光线也是沿直线前进的。
然后在球的北极（或南极）放置一个投影点，在赤道放置一个平面，让光源向平面发光，这样就可以在平面上看到除北极点（或南极点）之外球面上所有点的投影了。
图4:球极投影利用解析几何知识，我们很容易得到球极投影的公式如下：由此反解得：我们可以证明，球极投影和墨卡托投影一样，都有保角性。
再举个例子兰伯特方位角等面积投影Lambert Azimuth Equal-area Projection为了定义兰伯特方位角投影，想象一个平面在单位球面上的S点与球面相切。
设P是单位球面上除S的对径点以外的任何一点，d是三维空间中S和P之间的距离(注意：不是沿球面的距离)。
然后该投影将P映射到平面上的点P’，满足：P’到S的距离是d。
图5:兰伯特投影的做法更精确地说，存在唯一的圆，以S为圆心，穿过P，垂直于平面。
它与平面相交于两点；设P’是更接近P的点，这是我们要找的P的对应点。
如图所示。
根据定义，我们可以给出兰伯特投影的公式：由此可解得：我们可以验证，兰伯特等面积投影的确是等面积投影，即，球面上任两个图形的面积之比，等于它们在地图上的像的面积之比。
因此，这张地图还原了现实中各区域的面积关系。
图6:用兰伯特等面积投影方法制作的地图在本期中，我们根据地图的制作方式分类了地图投影，除了我们提到的圆柱投影、方位角投影，常见的地图投影还有圆锥投影，但碍于篇幅，就不介绍了，感兴趣的同学可自行查阅相关资料。
我们在本期中给出了很多地图投影的公式，它们可能长得有些吓人，并且暂时没看出它们除了“精确刻画对应关系”以外的作用。
但实际上，我们可以利用这些具体的信息，从数学上严格证明出地图应该有的比较好的性质，比如等角性、等面积性。
我们将在下一期中讨论这些有趣的问题。
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参考文献：(1)https://handwiki.org/wiki/Map_projection(2)https://www.zhihu.com/question/36908959/answer/70944368(3)https://handwiki.org/wiki/Central_cylindrical_projection(4)https://handwiki.org/wiki/Mercator_projection(5)https://handwiki.org/wiki/Stereographic_projection(6)https://handwiki.org/wiki/Lambert_azimuthal_equal-area_projection指导教师：李伟 孙善忠文案：朱慕天排版：马敬涛策划：廖一蓉校对：金广洋审核：张明数学文化科普社数学科学学院2024.03.25作者简介朱慕天，首都师范大学数学科学学院三年级本科生，目前对微分几何与几何分析感兴趣，曾获第15届全国大学生数学竞赛决赛数学类（高年级组）一等奖。
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