在几何学中，规则图形的面积和体积非常容易计算，我们在初高中都已经掌握了这些基本的计算公式，如下图像所示当涉及到曲面时，一般公式的计算方法就会统统失效，这时就需要微积分的知识来完成，如下是一个不规则的曲面，要计算它的体积，一般公式是无法计算的这里我们不是将其分割成无限多的矩形，而是将其分割成无限多的薄片，每个薄片都是一个二维区域，这给我们的计算提供了可能从最简单的球体出发，在水平方向上，我们可以将这个圆切成无限多的薄片，每个圆薄片的半径都对应一个y值即A=πy^2因为圆的面积是πr^2，但球体的的半径是不变的，所以我们可以根据勾股定理作一个直角三角形，得到y=r^2-x^2 如下图所示这样就与x建立了联系，且区间是(-r,+r)，因为球体关于y轴对称，所以根据微积分原理我们就得到如下结论这样最终就得到了球的体积所以无限的二维平面的叠加，就是三维物体的体积，但需要微积分作为桥梁我们继续延伸，如下是一个X^1/2图形绕x轴旋转产生的不规则物体，如何来计算它的体积呢？同样采用叠加所有横截面来进行计算但这里的半径r是X^1/2，所以有关横截面积就是πX这样我们就得到了（0,1）区间上该物体的体积，如下图所示这些伟大的发现都是基于牛顿和莱布尼兹的发现