达布定理：完全可积光滑分布的叶是浸入子流形在微分几何中，达布定理是一个关于光滑分布与其叶之间关系的核心定理。
光滑分布是一个流形上的向量子丛，而它的叶则是通过该分布的积分曲线所生成的流形。
达布定理告诉我们，如果一个光滑分布是完全可积的，那么它的叶在流形中是浸入子流形。
首先，我们来定义一些关键概念。
光滑分布是指在流形上每一个点都有定义的向量子空间，这些子空间光滑地依赖于基点。
简单地说，它是一个由向量场生成的向量子丛，这些向量场在流形上每一处都切线于相同的子空间。
而一个分布是完全可积的，如果它的每一个点都有一个邻域，使得在这个邻域内，分布的积分曲线能够填满整个邻域。
叶是分布积分曲线的最大集合，也就是说，它们是流形上通过同一分布中向量场生成的曲线的集合。
叶在流形中形成了一个子流形，而达布定理告诉我们，如果这个分布是完全可积的，那么这个子流形是一个浸入子流形。
浸入子流形是一个在更大的流形中有“良好”嵌入的子流形。
这意味着子流形中的每一个点都有一个邻域，使得这个邻域与子流形的交集在子流形中是开集。
换句话说，浸入子流形在更大的流形中看起来像是“平滑地”嵌入的。
达布定理的证明涉及到了对分布积分曲线的细致分析，以及对浸入子流形性质的深入理解。
在证明过程中，我们通常会使用到分布的可积性条件，以及浸入子流形的定义和性质。
这个定理的重要性在于它建立了完全可积光滑分布与其叶之间的直接联系。
它告诉我们，如果一个分布是完全可积的，那么它的叶在流形中的嵌入方式是特别“好”的，即它们是浸入子流形。
这种联系在微分几何的研究中非常有用，因为它允许我们通过分析分布的性质来推断其叶的性质，反之亦然。
总的来说，达布定理是微分几何中一个非常基本且重要的定理。
它不仅建立了光滑分布与其叶之间的联系，还为我们提供了一种理解和分析浸入子流形的新视角。
通过深入研究和应用这个定理，我们可以对微分几何中的许多重要问题有更深入的理解。